Jak wyznaczyć równanie prostej z wykresu i co ono oznacza w fizyce?

Na maturze z fizyki coraz częściej pojawiają się zadania, w których trzeba „odczytać” z wykresu równanie linii prostej. Dla wielu uczniów brzmi to jak czysta matematyka, ale w rzeczywistości kryje się za tym bardzo konkretna fizyka. To właśnie dzięki równaniu prostej możemy znaleźć przyspieszenie, opór, stałą sprężystości, czy nawet czas połowicznego rozpadu.

W tym artykule przypomnimy sobie podstawy matematyczne, a następnie przełożymy je na przykłady fizyczne, które pojawiają się na maturze. Na końcu pokażę też, czym jest linearyzacja – czyli sposób, jak z dziwnej funkcji zrobić prostą i ułatwić sobie życie.

---

Krótka powtórka z matematyki

Każdą prostą można zapisać w postaci:

gdzie:

• a – współczynnik kierunkowy, nachylenie prostej,

• b – wyraz wolny, czyli punkt przecięcia prostej z osią y.

Jak to policzyć?

1. Wybieramy dwa punkty z wykresu:

   

2. Obliczamy nachylenie:

   

3. Podstawiamy współrzędne jednego punktu do równania i obliczamy b.

I gotowe – mamy nasze równanie linii prostej.

Co to znaczy w fizyce?

W fizyce wykres prostej ma zawsze znaczenie praktyczne.

• Współczynnik kierunkowy a – najczęściej jest to wielkość fizyczna, np. przyspieszenie, opór elektryczny, stała sprężystości.

• Wyraz wolny b – to zwykle wartość początkowa (np. prędkość początkowa, napięcie źródła, naprężenie wstępne).

Czyli nie tylko matematyka, ale konkretne informacje o zjawisku które zostało zmierzone.

Typowe przykłady maturalne

Ruch prostoliniowy – wykres prędkości od czasu v(t)

1. Nachylenie prostej:

   

   daje przyspieszenie.

   
   

2. Przecięcie z osią v (czyli b) – to prędkość początkowa.

Prawo Ohma – wykres napięcia od natężenia U(I)

1. Nachylenie:

   

   to opór elektryczny R.

2. Punkt przecięcia z osią U – informuje o napięciu źródła, gdy prąd nie płynie.

Sprężyna – wykres siły od wydłużenia F(x)

Prawo Hooke’a:

1. Nachylenie prostej a – to stała sprężystości k.

2. Przecięcie z osią F – mówi nam, czy w sprężynie wstępnie występowało naprężenie.

4. Linearyzacja – gdy wykres nie jest prostą

Na maturze zdarza się, że wykres nie jest linią prostą. Wtedy stosujemy linearyzację – czyli przekształcenie równania tak, aby w naszym nowym zmodyfikowanym układzie współrzędnych otrzymać linię prostą.

Potęgi i logarytmy

Jeśli równanie ma postać:

to bierzemy logarytm obu stron:

Jeśli chcecie, aby dokładnie wytłumaczyć przekształcenia logarytmów, które mogą się wam przydać na maturze z fizyki zostawcie komentarz, a przygotuję dla was osobny artykuł o tym jak korzystać z logarytmów.

Po narysowaniu wykresu ln y jako funkcji ln x:

• nachylenie a = n → wykładnik potęgi,

• wyraz wolny b = ln⁡ k.

  
  

👉 Przykład: prawo Stefana-Boltzmanna – moc promieniowania. Wykres ln⁡P(ln⁡T) da prostą o nachyleniu a = 4.

Zależności wykładnicze

Jeśli równanie ma postać:

to:

Wtedy wykres ln⁡y(x) jest prostą, a:

• nachylenie a = −λ → stała rozpadu,

• przecięcie b = ln⁡ y0​ → początkowa liczba cząstek.

👉 Przykład: rozpad promieniotwórczy, wykres lnN(t).

Odwrotności

Prawo Boyle’a-Mariotte’a:

Nie jest to prosta, ale jeśli narysujemy p w funkcji 1/V, otrzymamy równanie prostej:

👉 Nachylenie wykresu daje wartość stałej k.

Jak to robić na maturze? – schemat krok po kroku

1. Odczytaj z wykresu dwa punkty.

2. Policz nachylenie Δy/Δx.

3. Podstaw punkt i wyznacz b.

4. Zapisz równanie w postaci y=ax+b.

5. Zinterpretuj fizycznie: co oznacza aa, co oznacza b.

6. Jeśli wykres nie jest prostą → spróbuj linearyzacji (logarytmy lub odwrotności).

   
   

Podsumowanie

• Matematyka: prosta ma równanie y=ax+b.

• Fizyka: nachylenie to najczęściej stała fizyczna, przecięcie to wartość początkowa.

• Linearyzacja: dzięki logarytmom i odwrotnościom łatwo zamieniamy krzywe w proste.

  
  

Umiejętność „czytania linii prostych” z wykresów to jedna z najbardziej praktycznych rzeczy na maturze. Jeśli nauczysz się patrzeć na wykres nie tylko matematycznie, ale też fizycznie, okaże się, że trudne zadania sprowadzają się do bardzo prostych obliczeń.

📌 Pro tip dla maturzystów: zawsze zapisuj interpretację fizyczną współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego. To często pomijane punkty, które decydują o punktacji!